简介
枚举算法是信息学竞赛中最基础也最重要的算法之一，特别适合初学者掌握。本文将介绍枚举算法的基本概念、应用场景和实现技巧。
枚举（英语：Enumerate）是基于已有知识来猜测答案的一种问题求解策略。
枚举的思想是不断地猜测，从可能的集合中一一尝试，然后再判断题目的条件是否成立。
什么是枚举算法
枚举算法（又称穷举算法）是一种通过遍历所有可能情况来解决问题的算法思想。它的核心思路是：系统地列举问题的所有可能解，然后逐一验证哪些解满足题目要求。
简单枚举算法示意
枚举算法的基本框架
枚举算法通常遵循以下步骤：
确定枚举对象和范围
设计枚举顺序
构造验证条件
优化枚举过程（减少不必要的枚举）
简单示例：找出 100 以内的素数
#include
using namespace std;
int main() {
for(int i=2; i<=100; i++) { // 枚举所有数字
bool is_prime = true;
for(int j=2; j*j<=i; j++) { // 验证是否为素数
if(i%j == 0) {
is_prime = false;
break;
}
}
if(is_prime) {
cout << i << " ";
}
}
return 0;
}
四、枚举算法的优化技巧
缩小枚举范围：通过数学分析减少需要枚举的数量
改变枚举顺序：有时逆序枚举或特定顺序枚举更高效
双向枚举：从两个方向同时枚举（如两数之和问题）
预处理信息：提前计算并存储部分结果
五、典型应用场景
排列组合问题（如全排列、子集生成）
搜索问题（如迷宫问题、八皇后问题）
数学问题（如完数、水仙花数）
字符串匹配问题（如暴力匹配算法）
六、注意事项
枚举算法时间复杂度较高，适合数据规模较小的问题（通常 n≤10^6）
注意避免重复枚举
合理利用剪枝策略提前终止不可能的分支
枚举算法虽然简单，但却是许多高级算法的基础。掌握好枚举算法，能帮助你在信息学竞赛中解决大量基础题目，并为学习更复杂的算法打下坚实基础。
要点
给出解空间
建立简洁的数学模型。
枚举的时候要想清楚：可能的情况是什么？要枚举哪些要素？
减少枚举的空间
枚举的范围是什么？是所有的内容都需要枚举吗？
在用枚举法解决问题的时候，一定要想清楚这两件事，否则会带来不必要的时间开销。
选择合适的枚举顺序
根据题目判断。比如例题中要求的是最大的符合条件的素数，那自然是从大到小枚举比较合适。
例题
以下是一个使用枚举解题与优化枚举范围的例子。
例题
一个数组中的数互不相同，求其中和为 000 的数对的个数。
解题思路
枚举两个数的代码很容易就可以写出来。
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j < n; ++j)
if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;来看看枚举的范围如何优化。由于题中没要求数对是有序的，答案就是有序的情况的两倍（考虑如果 (a, b) 是答案，那么 (b, a) 也是答案）。对于这种情况，只需统计人为要求有顺序之后的答案，最后再乘上 222 就好了。
不妨要求第一个数要出现在靠前的位置。代码如下：
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j < i; ++j)
if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;不难发现这里已经减少了 jjj 的枚举范围，减少了这段代码的时间开销。
我们可以在此之上进一步优化。
两个数是否都一定要枚举出来呢？枚举其中一个数之后，题目的条件已经确定了其他的要素（另一个数）的条件，如果能找到一种方法直接判断题目要求的那个数是否存在，就可以省掉枚举后一个数的时间了。较为进阶地，在数据范围允许的情况下，我们可以使用桶[^1]记录遍历过的数。
#include
const int MAXN = 100000; // 此处 MAXN 是数组内元素的界
int solve(int n, int a[])
{
bool met[MAXN * 2 + 1]; // 创建一个能装下 [-MAXN, MAXN] 的桶
memset(met, 0, sizeof(met));
int ans = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (met[MAXN - a[i]]) ++ans; // 如果桶内有想要的元素，答案加一
met[MAXN + a[i]] = true; // 无论如何，都要把当前元素放进桶里
}
return ans;
}
复杂度分析
时间复杂度分析：对 aaa 数组遍历了一遍就能完成题目要求，当 nnn 足够大的时候时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)。
空间复杂度分析：O(n+max{∣x∣:x∈a})O(n+\max\{|x|:x\in a\})O(n+max{∣x∣:x∈a})。
例题
StatusProblemTagsB3949. 星云枚举B4137. 幸运数字枚举P1003. 铺地毯枚举P1008. 三连击枚举
知识点学习完毕，开始练习！